شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | چند ضلعی محیطی](https://dl2.my-dars.com/upload/image/0121743429672.jpg)
یک چند ضلعی را محیطی (محیط بر دایره) می گوییم، هر گاه تمام ضلع های آن بر یک دایره مماس باشند. (در اینصورت دایره را، دایره محاطی آن چند ضلعی می نامیم.)
هر نقطه روی نیم ساز هر زاویه، از دو ضلع آن زاویه به یک فاصله است و برعکس اگر نقطه ای از دو ضلع یک زاویه به یک فاصله باشد، روی نیم ساز آن زاویه است.
\(MH = MH'\)
مثال
ثابت کنید مرکز دایره محاطی یک چند ضلعی، نقطه همرسی نیم ساز های داخلی همه زاویه های آن می باشد.
اثبات
واضح است که اگر نقطه O مرکز دایره محاطی چند ضلعی باشد، فاصله آن از تمام ضلع ها برابر با شعاع دایره محاطی (r) است.
توجه کنید که اگر از نقطه O به هر نقطه تماس وصل کنیم، شعاع در نقطه تماس بر خط مماس یعنی بر چند ضلعی، عمود است و لذا فاصله O از آن ضلع را نشان می دهد.
بنابراین این نقطه از دو ضلع هر زاویه داخلی چند ضلعی به یک فاصله است و در نتیجه روی نیمساز داخلی هر زاویه داخلی چند ضلعی قرار دارد.
یک چند ضلعی محیطی است اگر و تنها اگر همه نیم ساز های زاویه های داخلی آن در یک نقطه همرس باشند، این نقطه مرکز دایره محاطی چند ضلعی است.
اگر S و 2P به ترتیب مساحت و محیط یک چند ضلعی محیطی و r شعاع دایره محاطی آن باشد، آنگاه: \(S = rP\)
اثبات
با توجه به شکل
مساحت چند ضلعی برابر است با مجموع مساحت های مثلث های داخل
\(\begin{array}{l}{S_T} = {S_{A\mathop O\limits^\Delta B}} + {S_{B\mathop O\limits^\Delta C}} + {S_{C\mathop O\limits^\Delta D}} + {S_{D\mathop O\limits^\Delta E}} + {S_{E\mathop O\limits^\Delta A}}\\\\{S_T} = \left( {\frac{1}{2}O{H_1} \times AB} \right) + \left( {\frac{1}{2}O{H_2} \times BC} \right) + \left( {\frac{1}{2}O{H_3} \times DC} \right) + \left( {\frac{1}{2}O{H_4} \times DE} \right) + \left( {\frac{1}{2}O{H_5} \times AE} \right)\\\\ \Rightarrow O{H_1} = O{H_2} = \cdots = r\\\\ \Rightarrow {S_T} = r\left( {\frac{{AB + BC + DC + DE + AE}}{2}} \right) = rP\end{array}\)
تهیه کننده: امیرحسین مطلبی
1736019749.png)
